ما به تازگی دیده ایم که چگونه مشتقات به ما امکان مقایسه مقادیر مرتبط را که با گذشت زمان تغییر می کنند ، مقایسه می کنیم. در این بخش ، کاربرد دیگری از مشتقات را بررسی می کنیم: امکان تقریبی توابع محلی توسط توابع خطی. توابع خطی ساده ترین کارکردهایی هستند که با آنها کار می کنند ، بنابراین آنها یک ابزار مفید برای تقریب مقادیر عملکرد ارائه می دهند. علاوه بر این ، ایده های ارائه شده در این بخش بعداً در متن تعمیم داده می شود وقتی که ما می خواهیم عملکردهای تقریبی را با چند جمله ای درجه بالاتر مقدمه سری و توابع قدرت انجام دهیم.
تقریب خطی یک تابع در یک نقطه
مقدار واقعی f (2. 1) f (2. 1) توسط
در حالی که مقدار تابع در x = 10 x = 10 f (10) = 0. 1 است. F (10) = 0. 1.
f (x) ≈ f (a) + f ′ (a) (x - a) برای x در نزدیکی a. f (x) ≈ f (a) + f ′ (a) (x - a) برای x در نزدیکی a.
ما عملکرد خطی را صدا می کنیم
برای نشان دادن اینکه تقریب خطی چقدر می تواند مفید باشد ، ما می بینیم که چگونه می توان تقریب خطی را برای f (x) = x f (x) = x در x = 9 پیدا کرد. x = 9.
مثال 4. 5
تقریب خطی x x
راه حل
از آنجا که ما به دنبال تقریب خطی در x = 9 ، x = 9 هستیم ، با استفاده از معادله 4. 1 می دانیم که تقریب خطی توسط داده شده است
f (x) = x ⇒ f (9) = 9 = 3 f ′ (x) = 1 2 x ⇒ f ′ (9) = 1 2 9 = 1 6 f (x) = x ⇒ f (9) = 9= 3 f ′ (x) = 1 2 x ⇒ f ′ (9) = 1 2 9 = 1 6
بنابراین ، تقریب خطی توسط شکل 4. 8 آورده شده است.
با استفاده از تقریب خطی ، می توانیم 9. 1 9. 1 را با نوشتن تخمین بزنیم
9. 1 = F (9. 1) ≈ L (9. 1) = 3 + 1 6 (9. 1 - 9) 3. 0167. 9. 1 = F (9. 1) ≈ L (9. 1) = 3 + 1 6 (9. 1 - 9) 3. 0167.
شکل 4. 8 تقریب خطی محلی به f (x) = x f (x) = x در x = 9 x = 9 تقریب به f f برای x x نزدیک 9 را فراهم می کند.
تحلیل و بررسی
پاسگاه 4. 5
مثال 4. 6
تقریب خطی SIN X SIN x
راه حل
f (x) = sin x ⇒ f (π 3) = sin (π 3) = 3 2 f ′ (x) = cos x ⇒ f ′ (π 3) = cos (π 3) = 1 2 f (x)= sin x ⇒ f (π 3) = sin (π 3) = 3 2 f ′ (x) = cos x ⇒ f ′ (π 3) = cos (π 3) = 1 2
بنابراین ، تقریب خطی f f در x = π / 3 x = π / 3 توسط شکل 4. 9 آورده شده است.
SIN (62 °) = F (62 π 180) ≈ L (62 π 180) = 3 2 + 1 2 (62 π 180 - π 3) = 3 2 + 1 2 (2 π 180) = 3 2 + π 1800. 88348. SIN (62 °) = F (62 π 180) ≈ L (62 π 180) = 3 2 + 1 2 (62 π 180 - π 3) = 3 2 + 1 2 (2 π 180) = 3 2 + π 1800. 88348.
پاسگاه 4. 6
تقریب خطی را برای f (x) = cos x f (x) = cos x در x = π 2 پیدا کنید. x = π 2.
مثال 4. 7
تقریب ریشه ها و قدرت ها
راه حل
تقریب خطی در x = 0 x = 0 توسط
f (x) = (1 + x) n ⇒ f (0) = 1 f ′ (x) = n (1 + x) n - 1 ⇒ f ′ (0) = n ، f (x) = (1 +x) n ⇒ f (0) = 1 f ′ (x) = n (1 + x) n - 1 ⇒ f ′ (0) = n ،
تقریب خطی توسط شکل 4. 10 (a) آورده شده است.
پاسگاه 4. 7
دیفرانسیل
ما دیدیم که از تقریب خطی می توان برای برآورد مقادیر عملکرد استفاده کرد. همچنین می توان از آنها برای برآورد مقدار تغییر مقدار عملکرد در نتیجه تغییر کوچک در ورودی استفاده کرد. برای بحث در مورد این موضوع به طور رسمی ، ما یک مفهوم مرتبط را تعریف می کنیم: دیفرانسیل ها. دیفرانسیل ها راهی را برای برآورد مبلغی برای تغییر یک عملکرد در نتیجه تغییر کوچک در مقادیر ورودی فراهم می کنند.
این عبارت آشنا است که ما برای نشان دادن مشتق استفاده کرده ایم. معادله 4. 2 به عنوان شکل دیفرانسیل معادله 4. 3 شناخته می شود.
مثال 4. 8
محاسبه دیفرانسیل ها
برای هر یک از توابع زیر، dy را پیدا کنید و زمانی که x = 3 x = 3 و d x = 0. 1 باشد، ارزیابی کنید. d x = 0. 1 .
- y = x 2 + 2 x y = x 2 + 2 x
- y = cos x y = cos x
راه حل
مرحله کلیدی محاسبه مشتق است. وقتی آن را داشته باشیم، می توانیم مستقیماً Dy را بدست آوریم.
ایست بازرسی 4. 8
اکنون دیفرانسیل ها را به تقریب های خطی متصل می کنیم. دیفرانسیل ها را می توان برای تخمین تغییر در مقدار یک تابع که از یک تغییر کوچک در مقادیر ورودی حاصل می شود استفاده کرد. تابع f f را در نظر بگیرید که در نقطه a قابل تفکیک است. آ . فرض کنید ورودی x x مقدار کمی تغییر کند. ما علاقه مندیم که میزان خروجی y y چقدر تغییر می کند. اگر x x از a به a + d x، a + d x تغییر کند، آنگاه تغییر x x d x d x است (همچنین به Δ x نشان داده می‌شود)، Δ x)، و تغییر در y y با
بنابراین، اگر d x d x کوچک باشد،
f ( a + d x ) ≈ L ( a + d x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( a + d x − a ) . f ( a + d x ) ≈ L ( a + d x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( a + d x − a ) .
f ( a + d x ) − f ( a ) ≈ L ( a + d x ) − f ( a ) = f ′ ( a ) d x . f ( a + d x ) − f ( a ) ≈ L ( a + d x ) − f ( a ) = f ′ ( a ) d x .
Δ y = f ( a + d x ) − f ( a ) ≈ L ( a + d x ) − f ( a ) = f ′ ( a ) d x = d y . Δ y = f ( a + d x ) − f ( a ) ≈ L ( a + d x ) − f ( a ) = f ′ ( a ) d x = d y .
اکنون نگاهی می اندازیم به نحوه استفاده از دیفرانسیل ها برای تقریب تغییر در مقدار تابع که ناشی از یک تغییر کوچک در مقدار ورودی است. توجه داشته باشید که محاسبه با دیفرانسیل بسیار ساده تر از محاسبه مقادیر واقعی توابع است و نتیجه بسیار نزدیک به چیزی است که با محاسبه دقیق تر به دست می آوریم.
مثال 4. 9
تقریب تغییر با دیفرانسیل
راه حل
Δ y = f (3. 1) - f (3) = [ (3. 1) 2 + 2 (3. 1)] - [3 2 + 2 (3)] = 0. 81. Δ y = f (3. 1) - f (3) = [ (3. 1) 2 + 2 (3. 1)] - [3 2 + 2 (3)] = 0. 81.
d y = f ′ ( 3 ) d x = ( 2 ( 3 ) + 2 ) ( 0. 1 ) = 0. 8 . d y = f ′ ( 3 ) d x = ( 2 ( 3 ) + 2 ) ( 0. 1 ) = 0. 8 .
ایست بازرسی 4. 9
محاسبه مقدار خطا
هر نوع اندازه گیری مستعد خطای مشخصی است. در بسیاری از کاربردها، مقادیر معینی بر اساس اندازه گیری ها محاسبه می شوند. به عنوان مثال، مساحت یک دایره با اندازه گیری شعاع دایره محاسبه می شود. یک خطا در اندازه گیری شعاع منجر به خطا در مقدار محاسبه شده منطقه می شود. در اینجا به بررسی این نوع خطا می پردازیم و بررسی می کنیم که چگونه می توان از دیفرانسیل ها برای تخمین خطا استفاده کرد.
از آنجایی که تمام اندازه گیری ها مستعد درجاتی از خطا هستند، ما مقدار دقیق کمیت اندازه گیری شده را نمی دانیم، بنابراین نمی توانیم خطای منتشر شده را دقیقا محاسبه کنیم. با این حال، با توجه به تخمینی از دقت اندازه‌گیری، می‌توانیم از دیفرانسیل‌ها برای تقریب خطای انتشار Δ y استفاده کنیم. Δ y. به طور خاص، اگر f f یک تابع قابل تمایز در a، a باشد، خطای منتشر شده برابر است با
در مثال بعدی، به این می پردازیم که چگونه می توان از دیفرانسیل ها برای تخمین خطا در محاسبه حجم یک جعبه استفاده کرد، اگر فرض کنیم اندازه گیری طول ضلع با دقت مشخصی انجام شده است.
مثال 4. 10
حجم یک مکعب
فرض کنید طول ضلع یک مکعب 5 سانتی متر با دقت 0. 1 سانتی متر اندازه گیری شود.
- از دیفرانسیل ها برای تخمین خطا در حجم محاسبه شده مکعب استفاده کنید.
- اگر طول ضلع (i) 4. 9 سانتی متر و (ii) 5. 1 سانتی متر باشد، حجم مکعب را محاسبه کنید تا خطای تخمینی را با خطای بالقوه واقعی مقایسه کنید.
راه حل
- اندازه گیری طول ضلع با دقت 0. 1 ± 0. 1 سانتی متر است. از این رو،
بنابراین حجم واقعی مکعب بین 117. 649 و 132. 651 است. از آنجایی که طول ضلع 5 سانتی متر اندازه گیری می شود، حجم محاسبه شده V (5) = 5 3 = 125 است. V ( 5 ) = 5 3 = 125 . بنابراین، خطا در حجم محاسبه شده است
ایست بازرسی 4. 10
اگر طول ضلع 6 سانتی متر با دقت 0. 2 سانتی متر باشد، خطا را در حجم محاسبه شده یک مکعب تخمین بزنید.
مثال 4. 11
خطای نسبی و درصدی
راه حل
اگر اندازه گیری شعاع با دقت 80 ± 80 ± باشد، داریم
از آنجایی که حجم یک کره با V = ( 4 3 ) π r 3 , V = ( 4 3 ) π r 3 به دست می آید، داریم
با استفاده از شعاع اندازه گیری شده 4000 مایل، می توانیم تخمین بزنیم
−4 π ( 4000 ) 2 ( 80 ) ≤ d V ≤ 4 π ( 4000 ) 2 ( 80 ) .−4 π ( 4000 ) 2 ( 80 ) ≤ d V ≤ 4 π ( 4000 ) 2 ( 80 ) .
−4 π ( 4000 ) 2 ( 80 ) 4 π ( 4000 ) 3 / 3 ≤ d V V ≤ 4 π ( 4000 ) 2 ( 80 ) 4 π ( 4000 ) 3 / 3 ، 4 - 4 π ( 4000 )4 π ( 4000 ) 3 / 3 ≤ d V V ≤ 4 π ( 4000 ) 2 ( 80 ) 4 π ( 4000 ) 3 / 3 ،
که ساده می کند
خطای نسبی 0. 06 و درصد خطا 6 درصد است. 6 درصد.
ایست بازرسی 4. 11
اگر شعاع زمین 3950 مایل با خطای 100 ± 100 مایل اندازه گیری شود، درصد خطا را تعیین کنید.
بخش 4. 2 تمرینات
تقریب خطی برای هر تابع خطی عمومی y = m x + b چیست؟y = m x + b ?
شرایط لازم را طوری تعیین کنید که تابع تقریب خطی ثابت باشد. برای اثبات نتیجه خود از نمودار استفاده کنید.
توضیح دهید که چرا با افزایش فاصله بین x x و a، تقریب خطی دقیق تر می شود. آ . برای اثبات استدلال خود از نمودار استفاده کنید.
چه زمانی تقریب خطی دقیق است؟
برای تمرین های زیر، تقریب خطی L ( x ) L ( x ) را به y = f ( x ) y = f ( x ) نزدیک x = a x = a برای تابع بیابید.
f ( x ) = x + x 4 , a = 0 f ( x ) = x + x 4 , a = 0
f ( x ) = 1 x , a = 2 f ( x ) = 1 x , a = 2
f ( x ) = tan x , a = π 4 f ( x ) = tan x , a = π 4
f ( x ) = sin x , a = π 2 f ( x ) = sin x , a = π 2
f ( x ) = x sin x , a = 2 π f ( x ) = x sin x , a = 2 π
f ( x ) = sin 2 x , a = 0 f ( x ) = sin 2 x , a = 0
برای تمرینات زیر، مقادیر داده شده در 0. 01 را با تصمیم گیری در مورد f ( x ) f ( x ) و a , a مناسب محاسبه کنید و L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) را محاسبه کنید.) . L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) . با استفاده از ماشین حساب پاسخ خود را بررسی کنید.
[T] (2. 001) 6 (2. 001) 6
[T] sin (0. 02) sin (0. 02)
[T] cos (0. 03) cos (0. 03)
[T] ( 15. 99 ) 1/4 ( 15. 99 ) 1/4
[T] 1 0. 98 1 0. 98
[T] گناه (3. 14) گناه (3. 14)
[T] (1. 01) 3 (1. 01) 3
[T] cos (0. 01) cos (0. 01)
[T] ( گناه ( 0. 01 ) ) 2 ( گناه ( 0. 01 ) ) 2
[T] (1. 01) -3 (1. 01) -3
[T] ( 1 + 1 10 ) 10 ( 1 + 1 10 ) 10
[T] 8. 99 8. 99
برای تمرین های زیر، دیفرانسیل تابع را پیدا کنید.
y = 3 x 4 + x 2 - 2 x + 1 y = 3 x 4 + x 2 - 2 x + 1
برای تمرین های زیر، دیفرانسیل را پیدا کنید و برای x x و d x داده شده ارزیابی کنید. d x .
برای تمرینات زیر، تغییر حجم d V d V یا مساحت سطح d A را پیدا کنید. d A.
برای تمرین های زیر، از دیفرانسیل ها برای تخمین خطای حداکثر و نسبی هنگام محاسبه مساحت سطح یا حجم استفاده کنید.
یک استخر دارای پایه مستطیلی 10 فوت در 20 فوت و عمق 6 فوت است. اگر آن را فقط تا 5. 5 فوت پر کنید چه تغییری در حجم دارد؟
یک قیف بستنی دارای ارتفاع 4 اینچ و شعاع 1 اینچ است. اگر مخروط 0. 1 اینچ ضخامت داشته باشد، چه تفاوتی بین حجم مخروط، از جمله پوسته، و حجم بستنی که می توانید داخل آن قرار دهید، وجود دارد. پوسته؟
برای تمرین های زیر، تقریب ها را با استفاده از تقریب خطی در x = 0 تأیید کنید. x = 0.
Kinetic توسط OpenStax دسترسی به ابزارهای مطالعه نوآورانه را ارائه می دهد که به شما کمک می کند پتانسیل یادگیری خود را به حداکثر برسانید.
ما به عنوان یک همکار آمازون از خریدهای واجد شرایط درآمد کسب می کنیم.
آیا می خواهید به این کتاب استناد کنید، به اشتراک بگذارید، یا اصلاح کنید؟این کتاب از مجوز Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike استفاده می کند و شما باید OpenStax را نسبت دهید.
-
اگر تمام یا بخشی از این کتاب را در قالب چاپی مجدداً توزیع می‌کنید، باید در هر صفحه فیزیکی منبع زیر را درج کنید:
- برای ایجاد استناد از اطلاعات زیر استفاده کنید. توصیه می کنیم از ابزار استنادی مانند این استفاده کنید.
- نویسندگان: گیلبرت استرنگ، ادوین «جد» هرمان
- ناشر/وب سایت: OpenStax
- عنوان کتاب: حساب دیفرانسیل و انتگرال جلد 1
- تاریخ انتشار: 30 مارس 2016
- مکان: هیوستون، تگزاس
- آدرس کتاب: https://openstax. org/books/calculus-volume-1/pages/1-introduction
- آدرس بخش: https://openstax. org/books/calculus-volume-1/pages/4-2-linear-approximations-and-differentials
© 15 ژوئن 2022 OpenStax. محتوای کتاب درسی تولید شده توسط OpenStax تحت مجوز Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike مجوز دارد. نام OpenStax، نشان‌واره OpenStax، جلد کتاب OpenStax، نام OpenStax CNX و نشان‌واره OpenStax CNX مشمول مجوز Creative Commons نیستند و بدون رضایت قبلی و صریح کتبی دانشگاه رایس قابل تکثیر نیستند.
OpenStax بخشی از دانشگاه رایس است که یک سازمان غیرانتفاعی 501(c)(3) است. امروز بدهید و به ما کمک کنید تا به دانش آموزان بیشتری دست پیدا کنیم.
